基本积分公式

$$ \int k {\rm d}x = kx + C $$

$$ \int x^\mu {\rm d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C $$

$$ \int \frac{{\rm d}x}{x} = \ln{\left|x\right|} + C $$

$$ \int \frac{{\rm d}x}{1+x^2} = \arctan{x} + C $$

$$ \int \frac{{\rm d}}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin{x} + C $$

$$ \int \cos{x} {\rm d}x = \sin{x} + C $$

$$ \int \sin{x} {\rm d}x = -\cos{x} + C $$

$$ \int \sec^2{x} {\rm d}x = \int \frac{{\rm d}x}{\cos^2{x}} = \tan{x} + C $$

$$ \int \csc^2{x} {\rm d}x = \int \frac{{\rm d}x}{\sin^2{x}} = -\cot{x} + C $$

$$ \int a^x {\rm d}x = \frac{a^x}{\ln{a}} + C $$

$$ \int e^x {\rm d}x = e^x + C $$

不定积分性质

$$ [\int f(x) {\rm d}x]’ = f(x) ,\, {\rm d}\int f(x){\rm d}x = f(x) {\rm d}x $$

$$ \int F'(x) {\rm d}x = F(x) + C, \int {\rm d}F(x) = F(x) + C $$

$$ \int k f(x) {\rm d}x = k \int f(x) {\rm d}x $$

$$ \int[f(x) \pm g(x)] {\rm d}x = \int f(x) {\rm d}x \pm \int g(x) {\rm d}x $$

第一类换元

$$ \int f[\phi(x)] \cdot \phi'(x) {\rm d}x = \int f[\phi(x)] {\rm d}\phi(x) = F[\phi(x)] + C $$

特别的，当 $\phi'(x)$ 为常数时，有

$$ \int f[\phi(x)] {\rm d}x = \int \frac{f[\phi(x)]}{ \phi'(x) } {\rm d}\phi(x) = \frac{1}{ \phi'(x) } \int f[\phi(x)] {\rm d}\phi(x) = \frac{F[\phi(x)]}{\phi'(x)} + C $$

第二类换元

$$ \int f(x) {\rm d}x = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t) {\rm d}t $$

要求

$\int f[\varphi(t)]\varphi'(t) {\rm d}t$ 需存在
存在反函数 $\varphi^{-1}(x)$，使得 $t = \varphi^{-1}(x)$，同时需注意 $t$ 的定义域

$$ \int f(x) {\rm d}x = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t) {\rm d}t = F(t) + C = F(\varphi^{-1}(x)) + C $$

三角代换

$\sqrt{a^2-x^2}$ 型：令 $x=a\sin{t}$ 或 $x=a\cos{t}$
$\sqrt{a^2+x^2}$ 型：令 $x=a\tan{t}$ 或 $x=a\cot{t}$
$\sqrt{x^2-a^2}$ 型：令 $x=a\sec{t}$

通常令 $t \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

根式代换

$\sqrt[n]{ax+b}$ 型：设 $\sqrt[n]{ax+b} = t$，则令 $x=\frac{1}{a}(t^n-b)$
$\sqrt[n]{ax+b}$ 与 $\sqrt[m]{ax+b}$ 混合型：设 $\sqrt[k]{ax+b} = t$ ($k$ 为 $m$ 与 $n$ 的最小公倍数)，则令 $x=\frac{1}{a}(t^k-b)$
$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 型：设 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} = t$, 则令 $x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n}$

倒代换

当被积函数是分式，且 $n$ 和 $m$ 分别是分母和分子的最高次数，若 $n-m>1$，则可令 $x=\frac{1}{t}$，以降低分母次数

指数代换

若被积函数含有 $e^x$ 或 $\sqrt{e^x \pm a}$，可令 $t=e^x$ 或 $t=\sqrt{e^x \pm a}$